Szukaj
Przełożenie przekładni planetarnej nie wynika wyłącznie z liczby zębów dwóch współpracujących kół. W układzie występują trzy podstawowe człony: koło słoneczne, koło pierścieniowe z uzębieniem wewnętrznym oraz jarzmo z kołami planetarnymi. Wynik obliczeń zależy więc także od tego, który element jest napędzany, który pozostaje nieruchomy, a z którego odbierany jest ruch.
W najczęściej spotykanej konfiguracji redukcyjnej koło słoneczne jest wejściem, koło pierścieniowe pozostaje nieruchome, a jarzmo stanowi wyjście. Wtedy przełożenie można obliczyć prostym wzorem opartym na liczbie zębów koła słonecznego i pierścieniowego. W innych konfiguracjach należy zastosować ogólną zależność kinematyczną, nazywaną równaniem Willisa.
Najpierw trzeba określić konfigurację pracy przekładni. Ten sam zestaw kół może dawać różne przełożenia w zależności od tego, który z trzech głównych członów zostanie unieruchomiony oraz gdzie znajduje się wejście i wyjście.
Dla prostego zestawu planetarnego można przyjąć następujące oznaczenia:
W typowej przekładni redukcyjnej, w której pierścień jest nieruchomy, słońce jest wejściem, a jarzmo wyjściem:
i = ns / nc = 1 + Zr / Zs
Jeżeli koło słoneczne ma 24 zęby, a pierścień 72 zęby, otrzymujemy:
i = 1 + 72/24 = 4
Oznacza to redukcję 4:1: przy 3000 obr./min na wejściu prędkość obrotowa jarzma wynosi 750 obr./min.
To właśnie konfiguracja elementów jest najważniejsza. Dla tego samego zestawu zębów unieruchomienie innego członu prowadzi do innego wyniku. Dlatego przed podstawieniem wartości do wzoru trzeba ustalić, jak rzeczywiście zbudowano i połączono przekładnię.
Przeczytaj także: Przekładnia planetarna – zasada działania, budowa i zastosowanie.
Przełożenie prostego zestawu planetarnego zależy przede wszystkim od liczby zębów koła słonecznego i pierścieniowego oraz od tego, które elementy pełnią funkcję wejścia, wyjścia i członu nieruchomego. Sama obecność kilku kół planetarnych nie oznacza automatycznie większego przełożenia.
W klasycznym układzie można wyróżnić trzy podstawowe przypadki:
| Element nieruchomy | Wejście | Wyjście | Przełożenie |
| pierścień | słońce | jarzmo | i = 1 + Zr/Zs |
| słońce | pierścień | jarzmo | i = 1 + Zs/Zr |
| jarzmo | słońce | pierścień | i = −Zr/Zs |
Znak minus w trzecim przypadku oznacza, że element wyjściowy obraca się w przeciwnym kierunku względem wejścia. Jeżeli natomiast żaden z podstawowych członów nie jest unieruchomiony, prosty mechanizm planetarny ma dwa stopnie swobody i do jednoznacznego określenia ruchu potrzebna jest informacja o prędkości dwóch członów. Sama liczba zębów nie wystarczy.
W obliczeniach projektowych należy też odróżnić przełożenie kinematyczne od pozostałych parametrów rzeczywistej przekładni. Przełożenie określa zależność pomiędzy prędkościami obrotowymi, ale nie mówi jeszcze, jaka będzie sprawność zespołu, dopuszczalny moment, luz, sztywność czy trwałość.
W najczęściej stosowanym wariancie redukcyjnym z nieruchomym pierścieniem większy stosunek liczby zębów pierścienia do liczby zębów słońca oznacza większe przełożenie. Jeżeli Zr/Zs rośnie, zwiększa się również wartość:
i = 1 + Zr/Zs
Nie można jednak dobierać liczby zębów dowolnie. Dla klasycznego, prostego i współosiowego zestawu planetarnego z kołami o jednakowym module obowiązuje podstawowa zależność geometryczna:
Zr = Zs + 2Zp
Stąd liczbę zębów koła planetarnego można zapisać jako:
Zp = (Zr − Zs) / 2
Dla słońca o 24 zębach i pierścienia o 72 zębach koło planetarne powinno mieć więc 24 zęby.
Ważne jest też rozróżnienie liczby zębów planet od liczby samych planet. Liczba zębów koła planetarnego nie występuje bezpośrednio we wzorze na przełożenie w opisanej konfiguracji, ponieważ wynika z geometrii pomiędzy słońcem i pierścieniem. Również liczba zastosowanych kół planetarnych nie zmienia podstawowego przełożenia kinematycznego. Ma natomiast znaczenie m.in. dla rozkładu obciążenia pomiędzy kołami.
Przy równomiernym rozmieszczeniu planet trzeba dodatkowo uwzględnić warunek montażowy. Dla prostego zestawu planetarnego liczba:
(Zs + Zr) / N
powinna być całkowita, gdzie N oznacza liczbę równomiernie rozmieszczonych planet. Warunek ten określa, czy kolejne planety można umieścić w równych odstępach kątowych przy zachowaniu prawidłowego zazębienia.
Najbardziej uniwersalną podstawą obliczeń prostego mechanizmu planetarnego jest równanie Willisa. Dla koła słonecznego, pierścieniowego i jarzma można zapisać je w postaci:
(ωs − ωc) / (ωr − ωc) = −Zr / Zs
gdzie:
Równanie Willisa opisuje zależność kinematyczną pomiędzy trzema podstawowymi członami przekładni planetarnej. To z niego można wyprowadzać prostsze wzory właściwe dla konkretnych konfiguracji pracy.
Jeżeli pierścień pozostaje nieruchomy, czyli ωr = 0, po przekształceniu otrzymujemy:
i = ωs / ωc = 1 + Zr / Zs
To najczęściej używany wzór przy obliczaniu klasycznego reduktora planetarnego z wejściem na kole słonecznym i wyjściem na jarzmie.
Jeśli znane są przełożenie oraz prędkość wejściowa, prędkość wyjściową obliczymy z zależności:
nout = nin / i
Przykładowo przy przełożeniu 5:1 i prędkości wejściowej 1500 obr./min prędkość wyjściowa wynosi:
1500 / 5 = 300 obr./min
Warto przy tym zachować konsekwencję w sposobie definiowania przełożenia. W dokumentacji technicznej można spotkać różne konwencje zapisu, dlatego przed porównaniem własnych obliczeń z tabelą producenta należy sprawdzić sposób oznaczania wejścia, wyjścia oraz wartości i.
Prześledźmy całe obliczenie na prostym przykładzie. Załóżmy przekładnię, w której:
i = 1 + 72/24 = 1 + 3 = 4
Przełożenie wynosi więc 4:1.
Zp = (72 − 24) / 2 = 24
Koło planetarne ma 24 zęby.
nout = 3000 / 4 = 750 obr./min
Otrzymujemy zatem redukcję prędkości z 3000 do 750 obr./min.
Jeżeli zastosujemy trzy równomiernie rozmieszczone planety, możemy dodatkowo sprawdzić podstawowy warunek montażowy:
(24 + 72) / 3 = 32
Wynik jest liczbą całkowitą, więc warunek ten został spełniony.
Trzeba jednak pamiętać, że samo przełożenie nie określa wszystkich parametrów pracy przekładni. Z jego wartości można określić relację prędkości, ale rzeczywisty moment dostępny na wyjściu zależy również od sprawności układu i nie może przekraczać wartości dopuszczalnych dla konkretnej przekładni.
W przekładni wielostopniowej poszczególne stopnie są połączone szeregowo. Całkowitego przełożenia nie dodaje się. Należy pomnożyć przez siebie przełożenia wszystkich stopni:
icałk = i1 × i2 × i3 × … × in
Jeżeli pierwszy stopień ma przełożenie 4:1, a drugi 5:1, otrzymujemy:
icałk = 4 × 5 = 20
Cały zespół ma więc przełożenie 20:1. Dla prędkości wejściowej 3000 obr./min prędkość wyjściowa wyniesie:
nout = 3000 / 20 = 150 obr./min
Takie rozwiązanie pozwala uzyskać znacznie większą redukcję niż pojedynczy stopień planetarny. Nie oznacza jednak, że można analizować wyłącznie wartość przełożenia. Każdy kolejny stopień wprowadza straty mechaniczne, dlatego całkowita sprawność zespołu jest iloczynem sprawności poszczególnych stopni:
ηcałk = η1 × η2 × … × ηn
Właśnie dlatego podczas obliczania rzeczywistego momentu wyjściowego trzeba uwzględniać nie tylko i, lecz również sprawność.
Zobacz również: Jaka jest sprawność przekładni planetarnej? Od czego zależy i jak ją obliczyć?
Obliczenie przełożenia jest więc jednym z pierwszych etapów doboru przekładni, a nie jego zakończeniem. Poza wartością i należy uwzględnić m.in. wymagany moment, prędkość wejściową, cykl pracy, sprawność, obciążenia wału oraz sposób zabudowy. Jeśli znasz parametry swojej aplikacji i chcesz porównać dostępne rozwiązania, sprawdź przekładnie planetarne PL i PLB w naszej ofercie Motovario – kategoria obejmuje zarówno warianty liniowe, jak i kątowe oraz szerokie zakresy dostępnych przełożeń.